Представьте, что у вас есть стартовый капитал в 1000 юаней, и вы участвуете в такой игре на подбрасывание монеты, где вы можете продолжать играть.
Каждый раз бросая монету,
Поверните к лицу, богатство увеличилось на 80%.
Наоборот, богатство уменьшается на 50%.
Звучит как выгодная игра!
Но реальность такова...
Если позволить 100000 игрокам участвовать в этой игре и дать им сыграть по 100 раундов, вы обнаружите: их среднее богатство действительно экспоненциально растет, но у подавляющего большинства людей в конце концов богатство оказывается менее 72 юаней, а некоторые даже разоряются!
Почему среднее богатство растет, но большинство людей становится все беднее?
Это典型ная ловушка неэволюционного характера. Мы всегда думаем, что если сыграем еще одну партию, то сможем изменить ситуацию, и это происходит именно потому, что мы ошибочно принимаем среднее значение группы за судьбу отдельного человека.
Необратимые ловушки: долгосрочное среднее не равно твоей истинной судьбе
Что такое проходимость?
Понятие эргодичности (Ergodicity) впервые появилось в статистической физике и оказало глубокое влияние на такие области, как теория вероятностей, финансы, поведенческие науки, машинное обучение и другие. Основной вопрос, который он пытается ответить, заключается в следующем: применимо ли долгосрочное среднее значение к индивиду? Когда мы принимаем решения, чему мы должны доверять: «долгосрочному среднему» или «реальности личного опыта»?
В 19 веке физик Людвиг Больцман (Ludwig Boltzmann) выдвинул гипотезу эргодичности, исследуя движение молекул газа: если наблюдать за молекулой газа достаточно долго, она будет проходить через все возможные состояния.
Представьте себе закрытый газовый контейнер, в котором находится множество газовых молекул, каждая из которых проходит разные скорости и траектории в процессе столкновения. Долгосрочная траектория одной молекулы и статистическое распределение всего газа совпадают, что означает, что мы можем использовать состояние всех молекул в какой-то момент времени, чтобы предсказать долгосрочную траекторию одной молекулы.
Это знаменитая гипотеза эргодичности Больцмана.
В математике, полное покрытие означает:
Слева среднее время: описание того, как индивидуум, проходя один и тот же процесс много раз за достаточно длительный период, получает средний результат.
Справа среднее по группе: описание статистического ожидания, полученного в результате наблюдения за бесчисленным количеством индивидуумов в определенный момент времени. Другими словами: когда система удовлетворяет условиям эргодичности, индивидуальное поведение в конечном итоге будет сходиться к «долгосрочному среднему» группы.
Если мир является универсальным, то богатство каждого человека в конечном итоге будет стремиться к среднему уровню богатства в обществе. В универсальном мире каждый сможет испытать все возможные экономические состояния (богатство, бедность, успех, неудача), судьба индивидов всегда будет сходиться к "долгосрочному среднему" группы.
Но реальная жизнь часто не является исчерпывающей: ресурсы индивидов ограничены, и они часто выбывают до того, как испытают все возможные пути, из-за неудачи.
Мы часто слышим такие вводные высказывания:
"Средний годовой доход в определенной отрасли превышает миллион."
«Кто-то достиг финансовой свободы в 30 лет, на предпринимательство у него ушло всего два года.»
«Некоторые индексные фонды имеют высокий долгосрочный годовой доход, и если продолжать инвестировать, можно разбогатеть.»
……
Эти, казалось бы, разумные статистические данные будто бы сообщают нам определенную истину. Как будто, если действовать, долгосрочная средняя доходность будет применима к индивидууму. Но эти примеры относятся к зависимости от пути + невоспроизводимым неэлементным процессам. Подражатели не могут испытать тот же исторический контекст, сетевые отношения, узловые моменты удачи, даже не зная о количестве скрытых неудач.
Данные говорят вам о долгосрочном среднем значении группы, но реальность полна краткосрочных "обрывных неудач".
Это и есть самый скрытый капкан невычислимости — среднее значение больших данных ≠ истинная судьба индивида.
Один крах может быть непоправим для отдельного человека, одна неудача может окончательно выбросить его за борт, не оставляя шанса вернуться в "среднее состояние". Каждый из нас может пройти свой жизненный путь только один раз, и не может, как в казино, ждать, что долгосрочные средние значения будут сглажены среди множества игроков.
Почему долгосрочная судьба большинства индивидуумов намного хуже, чем "среднее значение"?
В неэвристических системах долгосрочные показатели отдельных индивидов, как правило, ниже среднего по группе. Это не случайность, а системная структурная особенность. Привлекательные средние значения часто поднимаются за счет крайне небольшого числа историй о предпринимательском успехе, богатстве от инвестиций и удачных поворотах судьбы, в то время как неудачи большинства никогда не попадают в статистику.
Реальные системы в большинстве случаев имеют характер мультипликативности и зависимость от пути — например, сложные проценты инвестиций, ухудшение здоровья, разрушение репутации. Типичными характеристиками таких систем являются: ограниченный рост и бесконечное падение.
Одно банкротство может разрушить всю жизнь;
Одна ошибка в принятии решения может кардинально изменить судьбу;
Один случай недобросовестности может полностью разрушить доверие;
Однако получаемое богатство, рост эффективности и созданные преимущества всегда ограничены.
Вот почему в математике долгосрочный темп роста мультипликационного процесса не равен "средней прибыли", а ближе к:
В сравнении, среднее значение группы обычно рассчитывается как арифметическое среднее,
Так как логарифмическая функция является строго вогнутой, на основе неравенства Йенсена, имеем:
Поэтому долгосрочный темп роста мультипликативной системы (то есть геометрическое среднее) всегда меньше арифметического среднего. Чем больше колебания, тем более очевидна эта разница. Арифметическое среднее говорит вам: "Что было бы, если бы вам вечно везло", в то время как геометрическое среднее говорит вам: "Сколько у вас осталось после того, как вы прошли через трудности в реальном мире."
Это означает, что долгосрочные результаты индивидов всегда значительно ниже «средней доходности группы», и это не связано с неудачами, а является следствием структуры.
Как принимать оптимальные решения? Золотое сечение формулы Келли
Так что в жизненных решениях, что мы можем сделать, чтобы избежать судьбы обнуления в долгосрочной игре? Как не разориться и не выйти из игры, но при этом добиться долгосрочного сложного процента?
Ответ: Никогда не ставьте все, учитесь ставить по Келли!
Формула Келли (Kelly Criterion) — это оптимальная стратегия ставок в повторяющихся играх, цель которой состоит в максимизации долгосрочной прибыли при одновременном избегании краткосрочных потерь. Она была впервые предложена Джоном Л. Келли-младшим (John L. Kelly Jr.) в 1956 году в лаборатории Белла и изначально предназначалась для решения задачи «как распределить мощность сигнала в зашумленном канале» для максимизации эффективности передачи информации.
Позже эта теория быстро вышла за пределы своей области.
Американский математик и инвестиционный гений Эдвард Торп (Edward Thorp) обнаружил, что формула Келли может оптимизировать путь накопления богатства. Он применил формулу Келли в казино и впервые систематически обыграл дилера в блэкджеке в книге «Побеждая дилера», затем он перенес ее на Уолл-стрит, продолжив "собирать урожай" в книге «Побеждая рынок».
Данный принцип по сути эквивалентен максимизации логарифмического ожидаемого дохода (log-utility), тем самым учитывая динамический баланс между ростом и риском. Он помогает вам найти оптимальную точку баланса между "долгожительством" и "достаточным доходом".
Формула Келли:
В этом случае вероятность успеха составляет p, вероятность неудачи составляет q = 1-p; коэффициент прибыли при успехе (без учета основной суммы) составляет b, а процент убытка при неудаче составляет a (обычно 1, если потеряно все ставленное количество).
Вернувшись к упомянутой в начале игре с подбрасыванием монеты, вы можете выбрать ставить определенный процент от своего капитала и продолжать играть, но сколько разумно ставить каждый раз?
То есть, формула Келли предлагает вкладывать 37,5% от общего капитала каждый раз. Делая слишком большие ставки, даже имея преимущество, вы можете потерпеть несколько подряд проигрышей и полностью обанкротиться; ставя слишком мало, вы можете упустить рост, который вам принадлежал.
Суть формулы Келли заключается в том, чтобы найти ту точку, которая позволяет зарабатывать больше всего в долгосрочной перспективе и при этом оставаться на плаву.
Стоит добавить, что формула Келли очень чувствительна к ставкам на выигрыш, но в реальности эти параметры часто неопределенны или динамически изменяются, поэтому многие осторожные практики выбирают половину рекомендованного значения Келли (известного как стратегия полукелли), чтобы получить более плавный путь доходности.
Моделирование эксперимента: в игре с подбрасыванием монет среди 100000 человек, сколько из них сможет "выжить"?
Чтобы более наглядно понять влияние различных стратегий ставок на судьбу индивидов, я смоделировал участие 100000 игроков в игре с подбрасыванием монеты, проведя в общей сложности 200 раундов, в которых каждый играл независимо.
Игровые правила остаются прежними: стартовый капитал 1000, выигрыш 80% при орле, 50% проигрыш при решке. Игроки могут выбрать фиксированный процент ставки: например, ставить все (100%), 65%, 37,5%, …
Результат... игроки, ставящие 100%, почти все погибли!
В конечном итоге богатство имеет "закон степени", хотя очень немногие люди становятся богатыми, подавляющее большинство игроков обанкротилось.
Мы сравнили распределение богатства игроков с четырьмя различными стратегиями ставок: чем дальше вправо распределение активов, тем выше активы игроков.
a. 100% ставка: почти все разоряются
В конечном распределении активов под стратегией полного вложения наблюдается огромный левый пик бедности + очень тонкий правый хвост богатства: большинство людей разоряются, а лишь немногие зарабатывают все деньги, что является истинным проявлением асимметрии игры + смещения выживших.
b. 65% ставок: по-прежнему наблюдается поляризация, все еще много людей банкротятся
c. 37.5% ставка (формула Келли): стабильный рост богатства
При стратегии ставок Келли распределение активов явно смещается вправо, большинство людей увеличивают свои активы, и распределение сосредоточено, что является оптимальной моделью накопления богатства.
d. 10% ставка: практически никто не обанкротился, но доход слишком низкий
Не наблюдается пиков банкротства, подобных тем, что возникают в случае полной ставки, но общее богатство сконцентрировано в зоне низких активов. В сравнении, стратегия с 37,5% создаст явно длинный хвост справа, обеспечивая умножение активов.
Ставка по Келли — единственная стратегия, которая сочетает в себе «в большинстве случаев не обанкротиться» и «значительное увеличение капитала», являющаяся математически оптимальной стратегией долгосрочного выживания. Это и есть суть формулы Келли: она не предназначена для того, чтобы вы выигрывали больше всего, а для того, чтобы гарантировать, что вы сможете продержаться достаточно долго.
Философия жизни в формуле Келли
Формула Келли говорит нам, что секрет долгосрочного успеха заключается в умении контролировать пропорцию "ставок". Жизнь не в том, кто сможет один раз нанести критический удар, а в том, кто сможет продолжать играть.
В профессиональной сфере нужно не просто сгоряча увольняться, и не застревать в зоне комфорта, а постоянно развиваться, повышать свои навыки, смело менять направление и оставлять за собой право выбора;
В инвестициях не следует рисковать всем ради быстрого обогащения, а нужно контролировать позиции в зависимости от коэффициентов и оставлять свои фишки.
В отношениях не следует возлагать все свои эмоции и ценности на одного человека, а нужно вкладываться, сохраняя при этом себя;
В росте и самодисциплине не полагайтесь на одноразовый скачок для получения изменений, а оптимизируйте структуру жизни стабильно и с эффектом сложных процентов.
Жизнь похожа на долгую игру, ваша цель не в том, чтобы выиграть один раз, а в том, чтобы убедиться, что вы сможете играть дальше. Пока вы не выбиты, обязательно произойдут хорошие вещи.
Содержание носит исключительно справочный характер и не является предложением или офертой. Консультации по инвестициям, налогообложению или юридическим вопросам не предоставляются. Более подробную информацию о рисках см. в разделе «Дисклеймер».
Почему в конечном итоге игроки теряют все? Законы выживания в неэвристических системах
Автор: Снежная гусь, DataCafe
Представьте, что у вас есть стартовый капитал в 1000 юаней, и вы участвуете в такой игре на подбрасывание монеты, где вы можете продолжать играть.
Каждый раз бросая монету,
Поверните к лицу, богатство увеличилось на 80%.
Наоборот, богатство уменьшается на 50%.
Звучит как выгодная игра!
Но реальность такова...
Если позволить 100000 игрокам участвовать в этой игре и дать им сыграть по 100 раундов, вы обнаружите: их среднее богатство действительно экспоненциально растет, но у подавляющего большинства людей в конце концов богатство оказывается менее 72 юаней, а некоторые даже разоряются!
Почему среднее богатство растет, но большинство людей становится все беднее?
Это典型ная ловушка неэволюционного характера. Мы всегда думаем, что если сыграем еще одну партию, то сможем изменить ситуацию, и это происходит именно потому, что мы ошибочно принимаем среднее значение группы за судьбу отдельного человека.
Необратимые ловушки: долгосрочное среднее не равно твоей истинной судьбе
Что такое проходимость?
Понятие эргодичности (Ergodicity) впервые появилось в статистической физике и оказало глубокое влияние на такие области, как теория вероятностей, финансы, поведенческие науки, машинное обучение и другие. Основной вопрос, который он пытается ответить, заключается в следующем: применимо ли долгосрочное среднее значение к индивиду? Когда мы принимаем решения, чему мы должны доверять: «долгосрочному среднему» или «реальности личного опыта»?
В 19 веке физик Людвиг Больцман (Ludwig Boltzmann) выдвинул гипотезу эргодичности, исследуя движение молекул газа: если наблюдать за молекулой газа достаточно долго, она будет проходить через все возможные состояния.
Представьте себе закрытый газовый контейнер, в котором находится множество газовых молекул, каждая из которых проходит разные скорости и траектории в процессе столкновения. Долгосрочная траектория одной молекулы и статистическое распределение всего газа совпадают, что означает, что мы можем использовать состояние всех молекул в какой-то момент времени, чтобы предсказать долгосрочную траекторию одной молекулы.
Это знаменитая гипотеза эргодичности Больцмана.
В математике, полное покрытие означает:
Слева среднее время: описание того, как индивидуум, проходя один и тот же процесс много раз за достаточно длительный период, получает средний результат.
Справа среднее по группе: описание статистического ожидания, полученного в результате наблюдения за бесчисленным количеством индивидуумов в определенный момент времени. Другими словами: когда система удовлетворяет условиям эргодичности, индивидуальное поведение в конечном итоге будет сходиться к «долгосрочному среднему» группы.
Если мир является универсальным, то богатство каждого человека в конечном итоге будет стремиться к среднему уровню богатства в обществе. В универсальном мире каждый сможет испытать все возможные экономические состояния (богатство, бедность, успех, неудача), судьба индивидов всегда будет сходиться к "долгосрочному среднему" группы.
Но реальная жизнь часто не является исчерпывающей: ресурсы индивидов ограничены, и они часто выбывают до того, как испытают все возможные пути, из-за неудачи.
Мы часто слышим такие вводные высказывания:
"Средний годовой доход в определенной отрасли превышает миллион."
«Кто-то достиг финансовой свободы в 30 лет, на предпринимательство у него ушло всего два года.»
«Некоторые индексные фонды имеют высокий долгосрочный годовой доход, и если продолжать инвестировать, можно разбогатеть.»
……
Эти, казалось бы, разумные статистические данные будто бы сообщают нам определенную истину. Как будто, если действовать, долгосрочная средняя доходность будет применима к индивидууму. Но эти примеры относятся к зависимости от пути + невоспроизводимым неэлементным процессам. Подражатели не могут испытать тот же исторический контекст, сетевые отношения, узловые моменты удачи, даже не зная о количестве скрытых неудач.
Данные говорят вам о долгосрочном среднем значении группы, но реальность полна краткосрочных "обрывных неудач".
Это и есть самый скрытый капкан невычислимости — среднее значение больших данных ≠ истинная судьба индивида.
Один крах может быть непоправим для отдельного человека, одна неудача может окончательно выбросить его за борт, не оставляя шанса вернуться в "среднее состояние". Каждый из нас может пройти свой жизненный путь только один раз, и не может, как в казино, ждать, что долгосрочные средние значения будут сглажены среди множества игроков.
Почему долгосрочная судьба большинства индивидуумов намного хуже, чем "среднее значение"?
В неэвристических системах долгосрочные показатели отдельных индивидов, как правило, ниже среднего по группе. Это не случайность, а системная структурная особенность. Привлекательные средние значения часто поднимаются за счет крайне небольшого числа историй о предпринимательском успехе, богатстве от инвестиций и удачных поворотах судьбы, в то время как неудачи большинства никогда не попадают в статистику.
Реальные системы в большинстве случаев имеют характер мультипликативности и зависимость от пути — например, сложные проценты инвестиций, ухудшение здоровья, разрушение репутации. Типичными характеристиками таких систем являются: ограниченный рост и бесконечное падение.
Одно банкротство может разрушить всю жизнь;
Одна ошибка в принятии решения может кардинально изменить судьбу;
Один случай недобросовестности может полностью разрушить доверие;
Однако получаемое богатство, рост эффективности и созданные преимущества всегда ограничены.
Вот почему в математике долгосрочный темп роста мультипликационного процесса не равен "средней прибыли", а ближе к:
В сравнении, среднее значение группы обычно рассчитывается как арифметическое среднее,
Так как логарифмическая функция является строго вогнутой, на основе неравенства Йенсена, имеем:
Поэтому долгосрочный темп роста мультипликативной системы (то есть геометрическое среднее) всегда меньше арифметического среднего. Чем больше колебания, тем более очевидна эта разница. Арифметическое среднее говорит вам: "Что было бы, если бы вам вечно везло", в то время как геометрическое среднее говорит вам: "Сколько у вас осталось после того, как вы прошли через трудности в реальном мире."
Это означает, что долгосрочные результаты индивидов всегда значительно ниже «средней доходности группы», и это не связано с неудачами, а является следствием структуры.
Как принимать оптимальные решения? Золотое сечение формулы Келли
Так что в жизненных решениях, что мы можем сделать, чтобы избежать судьбы обнуления в долгосрочной игре? Как не разориться и не выйти из игры, но при этом добиться долгосрочного сложного процента?
Ответ: Никогда не ставьте все, учитесь ставить по Келли!
Формула Келли (Kelly Criterion) — это оптимальная стратегия ставок в повторяющихся играх, цель которой состоит в максимизации долгосрочной прибыли при одновременном избегании краткосрочных потерь. Она была впервые предложена Джоном Л. Келли-младшим (John L. Kelly Jr.) в 1956 году в лаборатории Белла и изначально предназначалась для решения задачи «как распределить мощность сигнала в зашумленном канале» для максимизации эффективности передачи информации.
Позже эта теория быстро вышла за пределы своей области.
Американский математик и инвестиционный гений Эдвард Торп (Edward Thorp) обнаружил, что формула Келли может оптимизировать путь накопления богатства. Он применил формулу Келли в казино и впервые систематически обыграл дилера в блэкджеке в книге «Побеждая дилера», затем он перенес ее на Уолл-стрит, продолжив "собирать урожай" в книге «Побеждая рынок».
Данный принцип по сути эквивалентен максимизации логарифмического ожидаемого дохода (log-utility), тем самым учитывая динамический баланс между ростом и риском. Он помогает вам найти оптимальную точку баланса между "долгожительством" и "достаточным доходом".
Формула Келли:
В этом случае вероятность успеха составляет p, вероятность неудачи составляет q = 1-p; коэффициент прибыли при успехе (без учета основной суммы) составляет b, а процент убытка при неудаче составляет a (обычно 1, если потеряно все ставленное количество).
Вернувшись к упомянутой в начале игре с подбрасыванием монеты, вы можете выбрать ставить определенный процент от своего капитала и продолжать играть, но сколько разумно ставить каждый раз?
То есть, формула Келли предлагает вкладывать 37,5% от общего капитала каждый раз. Делая слишком большие ставки, даже имея преимущество, вы можете потерпеть несколько подряд проигрышей и полностью обанкротиться; ставя слишком мало, вы можете упустить рост, который вам принадлежал.
Суть формулы Келли заключается в том, чтобы найти ту точку, которая позволяет зарабатывать больше всего в долгосрочной перспективе и при этом оставаться на плаву.
Стоит добавить, что формула Келли очень чувствительна к ставкам на выигрыш, но в реальности эти параметры часто неопределенны или динамически изменяются, поэтому многие осторожные практики выбирают половину рекомендованного значения Келли (известного как стратегия полукелли), чтобы получить более плавный путь доходности.
Моделирование эксперимента: в игре с подбрасыванием монет среди 100000 человек, сколько из них сможет "выжить"?
Чтобы более наглядно понять влияние различных стратегий ставок на судьбу индивидов, я смоделировал участие 100000 игроков в игре с подбрасыванием монеты, проведя в общей сложности 200 раундов, в которых каждый играл независимо.
Игровые правила остаются прежними: стартовый капитал 1000, выигрыш 80% при орле, 50% проигрыш при решке. Игроки могут выбрать фиксированный процент ставки: например, ставить все (100%), 65%, 37,5%, …
Результат... игроки, ставящие 100%, почти все погибли!
В конечном итоге богатство имеет "закон степени", хотя очень немногие люди становятся богатыми, подавляющее большинство игроков обанкротилось.
Мы сравнили распределение богатства игроков с четырьмя различными стратегиями ставок: чем дальше вправо распределение активов, тем выше активы игроков.
a. 100% ставка: почти все разоряются
В конечном распределении активов под стратегией полного вложения наблюдается огромный левый пик бедности + очень тонкий правый хвост богатства: большинство людей разоряются, а лишь немногие зарабатывают все деньги, что является истинным проявлением асимметрии игры + смещения выживших.
b. 65% ставок: по-прежнему наблюдается поляризация, все еще много людей банкротятся
c. 37.5% ставка (формула Келли): стабильный рост богатства
При стратегии ставок Келли распределение активов явно смещается вправо, большинство людей увеличивают свои активы, и распределение сосредоточено, что является оптимальной моделью накопления богатства.
d. 10% ставка: практически никто не обанкротился, но доход слишком низкий
Не наблюдается пиков банкротства, подобных тем, что возникают в случае полной ставки, но общее богатство сконцентрировано в зоне низких активов. В сравнении, стратегия с 37,5% создаст явно длинный хвост справа, обеспечивая умножение активов.
Ставка по Келли — единственная стратегия, которая сочетает в себе «в большинстве случаев не обанкротиться» и «значительное увеличение капитала», являющаяся математически оптимальной стратегией долгосрочного выживания. Это и есть суть формулы Келли: она не предназначена для того, чтобы вы выигрывали больше всего, а для того, чтобы гарантировать, что вы сможете продержаться достаточно долго.
Философия жизни в формуле Келли
Формула Келли говорит нам, что секрет долгосрочного успеха заключается в умении контролировать пропорцию "ставок". Жизнь не в том, кто сможет один раз нанести критический удар, а в том, кто сможет продолжать играть.
В профессиональной сфере нужно не просто сгоряча увольняться, и не застревать в зоне комфорта, а постоянно развиваться, повышать свои навыки, смело менять направление и оставлять за собой право выбора;
В инвестициях не следует рисковать всем ради быстрого обогащения, а нужно контролировать позиции в зависимости от коэффициентов и оставлять свои фишки.
В отношениях не следует возлагать все свои эмоции и ценности на одного человека, а нужно вкладываться, сохраняя при этом себя;
В росте и самодисциплине не полагайтесь на одноразовый скачок для получения изменений, а оптимизируйте структуру жизни стабильно и с эффектом сложных процентов.
Жизнь похожа на долгую игру, ваша цель не в том, чтобы выиграть один раз, а в том, чтобы убедиться, что вы сможете играть дальше. Пока вы не выбиты, обязательно произойдут хорошие вещи.